ガウス の 消去 法。 ガウスの消去法による連立一次方程式の解き方

連立1次方程式の解(ガウスの消去法)

ガウス の 消去 法

手順1:成分を斜め(右下)に掛け合わせる まず、図のように行列の成分をかけていきます。 対角成分 a,e,i はわかりやすいですが、残りの2つは少しややこしいです。 オレンジの線の矢印の方向へ掛け合わせていきます。 手順2:成分を斜め(左下)に掛け合わせる 次に、手順1と同様の掛け算を以下の図のとおりに行います。 手順3: 1の和 ー 2の和 を計算する=行列式 最後に、 1 と 2 の結果を合わせて計算を行います。 掃き出し法による3元1次連立方程式の解き方の手順 準備が整ったところで、いよいよ3元一次連立方程式の解き方に入ります。 今回は次の3元一次連立方程式を例として解説していきます。 掃き出し法で実際に連立方程式を解く では、先ほど例示した連立方程式を行列の積の形にし、さらに以下のように(行列|解)の形を作ります。 (この行列を『拡大 係数 行列』と呼びます。 1列目の1行目の成分だけ1になるよう変形する まず、2行目と1行目を入れ替えて、左上の成分が1になるようにします。 (分数が多くなるので計算ミスに気をつけましょう。 これまでと同じく単位行列Eにすることを目標に操作していきます。 このようにして連立方程式の解を求める方法を『掃き出し法』(あるいは『ガウスの消去法』)と呼びます。 このような理由もあり、コンピューターの仕組み・機械学習の理論の理解には線形代数の知識が必須となるのです。 ) 掃き出し法で逆行列を求める 掃き出し法は、このように連立方程式を解くためだけではなく、「逆行列」を求める際にも利用する事ができます。 ) ・次に、3元1次連立方程式の解法として、『行基本操作』と『掃き出し法』を解説しました。 ・次回は、操作する行列が非正則行列(『行列式=0』)の場合について詳しく説明していきます。 線形代数入門シリーズ一覧 これまでの線形代数の記事は以下のまとめよりご覧いただけます。 ・「」<< 次回:線形代数第9回「」 最後までご覧いただき有難うございました。 「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見や、ご質問、記事のリクエストの募集を行なっています。 ぜひ、コメント欄までお寄せください。 ・いいね!、B!やシェア、Twitterのフォローをしていただけると励みになります。

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掃き出し法で連立方程式を解く手順とコツを解説

ガウス の 消去 法

略歴と業績 [ ]• - に生まれる• - の成立を予想• - 発見• - の証明。 コンパスと定規のみでを作図できることを証明• - の証明• - 『』出版 複素数表記、現代整数の表記導入• - の研究• - の天文台長になり、以後40年同職につく• - 『天体運行論』出版 最小二乗法を用いたデータ補正、正規分布• - 、(複素数平面)ベッセルへの手紙• - 『曲面の研究』(: Disquisitiones generales circa superficies curvas)出版、を創始• - ゲッティンゲンで死去 生い立ちと幼年期 [ ] 生誕地に建てられている記念碑 ガウスはドイツので、職人の親方であった父親と、慎ましい母親の下に生まれた。 両親ともに学問とは全く無縁の家庭環境で育ったにも関わらず、彼は子供の頃から並み外れた神童ぶりを発揮していたと言われ、下記のような小学校時代の逸話が伝わっている。 ガウスが7歳の時、算数の授業で教師が「1から100までの数字すべてを足せ」という問題を出し、生徒たちが問題を解くには相当な時間がかかるだろうと考えていたが、ガウスはわずか数秒で「5050」という解答を出し、教師を驚かせた。 この逸話が事実であれば、ガウスはの和の公式をわずか7歳で独自に発見していたことになる。 実際、算数の教師は彼の才能を見るにつけ、このような天才に自分が教えられることは何もないと言ったそうである。 教師はガウスの父親に、ガウスに数学を勉強させるように何度も説得したそうである。 そして彼は多才であったため、音楽や言語学にも興味を持ち、将来何になるかを迷っていたそうである。 また頃、15歳当時の彼は、一日15分ずつの予備の時間を当てて1000個ずつのにそれぞれいくつのが現れるかを調べ、その次第に減っていく様子から、約100年後に証明されることになるを予想した。 ガウスは言葉を満足に話せるようになる前から、誰から学ぶこともなく計算ができたといわれている。 彼がまだ3歳になるかならないかの頃、父親が職人達に支払う給料の計算をしていた時、彼は父親の計算が間違っていることを傍から指摘した。 父親が驚いて計算をやり直したところ、息子が指摘した通りであったという。 また酒樽の体積を求めるにはそれをスライスした面の面積を調べて積み重ねればよい、という積分の概念にも自力で到達していた。 7歳になるとガウスは地元の小学校に入った。 ここでビュットナー校長によって算数を習うものの、すでにガウスは習得済みであった。 このため、校長は自費でより高級な算術の教科書をハンブルクから取り寄せたが、すぐに読み終えてしまった。 ここで校長は「これ以上教えられることはない」と述べたようである。 そこで校長は、助手であるにガウスを任せることにした。 ガウスとバーテルスは共に学び、教科書を改良したり、新しい概念を生み出すようになった。 バーテルスはの知人であり、フェルディナントの経済的支援によってに行くことになった。 大学では、ハンガリー貴族である(独語表記:ファルカシュ・ヴォルフガング・ボヤイ)と友人になった。 ボヤイがガウスの家を訪ねた際、ガウスの母はボヤイへ息子は優秀かと尋ね、ボヤイがガウスはヨーロッパ一の数学者になるでしょうと答えると、母は泣き崩れたという。 思想とおもな業績 [ ] ガウスは奨学金を得て大学に進み、数々の重要な発見を行った。 彼は、の数学者達に起源を持つに正確な必要十分条件を与え、が作図できることを発見した()。 作図できる正素数角形は古来から知られていたとのみだと考えられていたのでこの発見は当時の数学界に衝撃を与えた。 作図できる正多角形の種類が増えたのは約二千年ぶりのことであった。 彼はこの結果を非常に喜び、この成果である正17角形を墓標に刻むように申し入れた(結局、これは実現されなかったが、彼の記念碑には正17角形が刻まれている)。 また、この発見の日より、数学的発見を記述したガウス日記を付け始め、また自分の将来の進路を数学者とすることに決めたといわれる。 学位論文で彼はを最初に証明した。 後に彼はこの問題に対して3つの異なる証明を行い、の重要性を決定付けた。 ガウスの最も偉大な貢献はの分野である。 この分野だけが、その全貌ではないにしろガウスの研究が体系的にまとめられて出版された。 それがに発表した であり、そのほとんどのページが二、三元の二次形式の研究に当てられている。 この本は、数の合同の記号を導入しの明確な表現を与え、の初の完全な証明などが与えられている。 のによるが明確に言明され、証明されたのもこの本が最初であった。 また今日でいうところの円分体の理論が記述されているほか、素数定理に対する予想が述べられている。 しかしこの本は、あまりにも時代を抜きん出た難解な著作であり、その上出版社の問題から発行部数が相当低かったこともあって、実際には当時理解できるものは限られていた。 結局それがようやく大勢に理解されるようになるのは、それを詳しく解読し講義したの時代になってからである。 ガウスは発表はしなかったが、の分野でも時代を先んじた研究を行っていた。 当時はまだが完全なる市民権を得ておらず、できれば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。 そのため、ガウスはを証明した学位論文では誤解を避けるためにを表に出さず、がの範囲内で1次または2次のに分解されるとした。 そのような時代にあっても、早くから虚数への偏見から完全に自由であったガウスは複素数の世界に深く分け入り、数多の美しい結果を得た。 まずから始まるの最初の研究、関数の発見である。 そしてには一般楕円関数を発見し、その理論を展開した。 楕円関数の発見が世の中に最初に公表されたのは の上のの論文によってであるから、ガウスがいかに時代を先んじていたかが分かる。 また同じ1800年頃、を発見してその理論を組み立てたが、それはの同種の仕事に先立つこと50年であった。 一方、はのの虚数積分の論文に端を発し、その後30年を掛けて対象としてのの認知にまで発展したが、ガウスにはにはすでに、後に「」として知られる事柄を確実に把握し、使いこなしていた。 すでにの中頃から上で物事を考えていたガウスの眼には二重周期関数の存在は自明で、の拡張を目指してのを考え、その結果 「楕円関数」を得たのもごく自然の動きであり、また複素積分での積分路の役割を考えてコーシーの積分定理の内容に逢着したのもこれまたごく自然であろう。 ガウスは、そうした成果の全てを発表しなかったが、彼がそのように、自身の成果を発表せずにいたのにはいくつかの要因があると思われる。 その1はガウスにとっては研究で美しい結果を得ることが最大の報酬であり、他人の認知を必要としなかったことである。 そしてその2は世間の無理解、誤解によって生ずる論争の煩わしさを嫌ったことである。 実際、ガウスはの可能性についての自身の考えが世に漏れることに極めて慎重であった。 そしてその3は当時の成果発表手段の乏しさである。 その頃は今のように論文原稿を送るべき学会誌や論文雑誌は存在せず、成果発表は主として自家印刷の小冊子や単行本によった(しばらくして学士院や大学の紀要も)。 実際、ガウスの整数論は単行本として発表された。 そしてアーベルの「代数方程式に関する論(五次の一般的な方程式を解くことの不可能の証明)」は自家印刷の粗末な小冊子として出されて、その時は世間に認知されずに終わった。 アーベルのこの論文や楕円関数論が世間に認知されたのはに論文雑誌「」が創刊され、それに寄稿しての話である。 このような時代にあってガウスは解析学の大著述を計画するが、研究が進展して考察の範囲がとめどもなく拡大していき完結の機会を逸し、また測量学の実地での測量や膨大な数値計算、天文観測などで多忙であったこと、ナポレオンによるヨーロッパの政治混乱による経済的困窮などにより、ついに世に出ることがなかったという。 にガウスは Theoria motus(『天体運行論』)の中で彼の主要な研究であったの振る舞いについて記す。 これは現在の科学ではほぼすべての分野で観測等の誤差を含むデータから推定値を求める際の計算法として用いられている。 また、誤差の分布に対してある程度の仮定を設けることで正規分布が導かれることや、に基づいて最小二乗法による推定の良さ(今日の最尤推定)が導かれることなどを証明した。 これについての論文はにが発表していたが、ガウスはこの理論にには到達していた(ただし、これがルジャンドルとの先取権を巡るいざこざの原因となり、面倒を嫌うガウスの秘密主義を招いたとも言われる)。 ガウスはブラウンシュバイク公爵から援助されて研究生活をしていた。 それを不満と思っていたわけではなく、生活に困ってもいなかったが、数学そのものがそれほど世の中の役に立つとは考えていなかった(注、職業数学者というポストが成立したのは主に大学制度が出来てからで、それ以前は貴族王侯の名誉を支える一種の芸人として仕えるあるいは助成を受ける者として、あるいは自然科学や産業上の研究と不可分な形で、または個人の名誉の探求行為としてのみ存在した)。 そのため、彼自身は天文学者になることを願うようになり、に発見後行方不明になっていたの軌道決定の功績が認められてにの天文台長になった。 そこでも測定用機材の開発(ガウス式レンズの設計)、楕円関数の惑星の運動への応用、力学に於ける最小作用の法則の定式化の一つである「ガウスの最小拘束の原理」など、数々の発見を行っている。 にのをする測定装置のために、後に大きな影響を与えた正規分布についての研究を始めた。 これは測量結果のに関する興味からである。 またこのときの測量成果の取りまとめに当たり考案した、による表面から平面へのはとして今日においても世界各国で活用されている。 測量への興味から曲面論を創始し、後のに影響を与えた。 に『曲面の研究』(: Disquisitiones generales circa superficies curvas)を出版し、曲面の面積と対応する単位球面の面積の無限小比として意味付けられる(今日ではと呼ばれる)が、曲面の内在的量にのみ依存することを示し、で ()と呼んだ。 この定理は、においてガウスの基本定理、あるいは単にガウスの定理とも呼ばれる。 ガウスはの一つであるの発見者でもある。 しかしそれに関する発表は一切行わなかった。 友人であるは以外の公理を発見しようと多くの年月を費やしたが失敗した。 ボヤイの息子であるはに双曲幾何学を再発見しに結果を発表した。 これについてガウスは「書かなくて良くなった」と発言している。 この後、の分野でこれが現実の世界にどれだけ妥当しているのかを計測しようと試みている。 また地球磁気の研究に関連して、展開の高速な計算方法を開発し、データ数が2のの場合についてを論文に記述しているが、これは後の電子計算機の時代に として定式化(が再発見)された方法と本質的には同じものである。 またには物理学教授のとの共著を行い、について多くの回答を与えた。 ・・(の単位)・は彼の名に因む。 電気でのに当たるものを発見し、電信装置を作り上げた。 これはのに展示された。 なお、モールスはこの話を旅行中の船上で人から聞き、思索の末に電信符号を発明した。 ガウスとウェーバーの電信機は、電流計の針の振れ角の大きさで通信をするアナログ方式であったが、モールス符号はデジタル方式である。 またモールスは英文に対して符号長が平均的に短くなるように印刷所の活字の割合を参考として符号の割り当てを決めてもいる。 また、ガウスは液体の表面張力や毛細管現象などについての研究も発表している。 ガウスの研究の志向はその時代に自然哲学の巨星であったやが為した業績をさらに前進させるといったものが多かったように思われる。 彼は数学の教授になったことはなく、教師となることも嫌ったが、やなど彼の弟子達は、彼の僚友で後継者として初の正教授となったにも才能を引き出され、偉大な数学者となった。 人柄と私生活 [ ] ガウスは信心深く、保守的な人物だった。 を支持し、の際にはと対立した。 彼は他の数学者と一緒に何かをすることはほとんどなく、あまり人と打ち解けることのない厳粛な人だったと多くの人が伝えている。 私生活では、最愛の、ヨハンナ・オストホフ(Johanna Osthoff, - )が若くして亡くなり、さらにそれを追うように次男ルイスも夭逝するなど、暗い出来事が続いた。 特に彼はヨハンナを精神的な意味も込めて溺愛しており、彼女の死は彼の精神に大きなショックを与え、以後完全に回復することはなかった。 ルイスの死後すぐに、フリーデリカ・ヴィルヘルミーネ・ヴァルトエック(Friederica Wilhelmine Waldeck, 愛称ミンナ:Minna)としたものの、この結婚から得られた幸せは希薄なものだったようである。 ガウスはヨハンナの面影が忘れられず、再婚相手のミンナへの手紙にもそのことを書く始末であった。 ミンナもに長い病気の末に亡くなり、その後は娘のテレーズ Therese が身の回りの世話をしていた。 また、ガウスは母親ともから彼女の亡くなるまで一緒に住んでいた。 子供は2人の妻に3人ずつ、合計6人もうけた。 ヨハンナとの間の子供は、ヨゼフ(Joseph, - )、ヴィルヘルミーナ(Wilhelmina, 愛称はやはりミン, - )、ルイス(Louis, - )である。 なかでもヴィルヘルミーナの才能はガウスに近いものがあったと言われているが、彼女も若くして亡くなってしまう。 ミンナ・ヴァルトエックとの間の子供はオイゲネ(Eugene, - )、ヴィルヘルム(Wilhelm, - )、テレーズ(Therese, - )がいる。 オイゲネは頃父の元を離れてのに移住した。 しばらく後にヴィルヘルムもミズーリ州に渡り、を始め、後にでので成功した。 テレーズは結婚した後もガウスの面倒を見て家に留まった。 晩年と墓所 [ ] ガウスはゲッティンゲンで1855年に亡くなり、 の墓所に埋葬された。 からにユーロ紙幣となるまで、彼の肖像と正規分布曲線が10マルク紙幣に印刷されていた。 生涯彼の弟子であったはガウスの伝記 『カール・フリードリヒ・ガウス: 科学の巨人』 など、多くの著作を残した。 ガウスの名が付いた法則、記号、単位等 [ ] 10 からまで使われた10にはガウスの肖像画がの図、式とともに描かれていた。 、とはガウスの事跡を記念してを創設した。 著作 [ ]• 『ポテンチヤル論』 編、・ 訳、丸善〈科学名著集 第4冊〉、1914年。 『地磁氣論』東北帝国大学 編、 訳、丸善〈科学名著集 第4冊〉、1914年。 ガウス 等著『幾何光学論文集〈第1、第2〉』東北帝国大学 編、山田幸五郎 訳、丸善〈科学名著集 第8,9冊〉、1918-1919。 ( 『』 訳、朝倉書店〈数学史叢書〉、1995年6月20日。 『』・ 訳、紀伊國屋書店出版部、2011年5月(原著1981年5月)。 『』高瀬正仁 訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 カ-33-1〉、2012年7月10日。 『』高瀬正仁 訳・解説、日本評論社、2013年8月30日。 脚注 [ ]• , p. 115• この逸話は、伝記作家の創作も原因となって様々な形で伝えられており、出題された数列がどのようなものであったかを含めて細部に違いが見られる。 , p. 200で報告されている調査結果によれば、文献としては逸話の原典となったと思われるヴォルフガング・ザルトリウス・フォン・ヴァルタースハウゼン()による伝記( - )においては、出題された等差数列の項の具体的な値やガウスの解法の詳細については記述されていないということである。 始めは全ての数を一つ一つ調べて当時の素数表の不備を埋めていたが、そのうち膨大な計算をするのが嫌になったらしく、一日15分と時間を決めて1000個単位の中からランダムサンプリングを行い、統計的な振る舞いを調べる手法に変えたという。 必ず一定時間で計算を終えることから、いわゆるの先駆的な手法といえる。 [ ]• 今日までに知られているフェルマー素数は , , , , である。 のはケレス再発見者の一人、はケレス発見者の、は再発見者の一人に因み命名されている。 関連文献 [ ]• 『』 訳、丸善出版〈シュプリンガー数学クラブ 2〉、1996年6月。 『』岩波書店〈岩波文庫 青939-1〉、1995年8月18日。 高木貞治『』共立出版、1996年12月10日。 『』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 タ31-2〉、2011年3月9日。 『』 編、岩波書店、2007年3月15日、第4版。 May-June 2006 , , American Scientist, 3 Scientific Research Society 94: 200, : ,• レナード・ムロディナウ『』 訳、日本放送出版協会、2003年6月25日。 ウィキメディア・コモンズには、 カール・フリードリヒ・ガウスに関連する および があります。 ウィキクォートに に関する引用句集があります。 外部リンク [ ]• 世界大百科事典 第2版『』 -• O'Connor, John J. ; , , , ,. (ドイツ語)• (英語).

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掃き出し法(ガウスの消去法)

ガウス の 消去 法

2つの行を入れ替える• ある行を定数倍する• ある行の定数倍を他の行に加える 行列式に対する行基本変形では行列式の値が変化したが、掃き出し法における行基本変形では解に変化はない。 このことは通常の連立方程式の解き方との対比を考えれば当然である。 ただし、行基本変形の前後で拡大係数行列は別物なので、行列式のときのようにイコールで結ぶことはできない。 単位行列をつくる 拡大係数行列を、次のように書くことにする。 具体的な連立方程式の解を計算して、掃き出し法の使い方を理解しよう。 (変形の詳細は省略した) 逆行列の求め方 掃き出し法を用いると、連立方程式の解だけでなく逆行列を簡単に求めることもできる。 縦線の左側が単位行列になったとき、縦線の右側が求める逆行列になっている。 具体例で確認していく。 例題(逆行列) 先の例題と同じ問題を、逆行列を通じて計算してみる。

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