フィボナッチ 数列 と は。 フィボナッチ数列と花。花芯を拡大すると21と34の列が。

フィボナッチ数列の使い方

フィボナッチ 数列 と は

フィボナッチ数列とは,1,1,2,3,5,8,13,21 のように,各項が「前の2つを足した値」になるような数列のこと。 この記事では, フィボナッチ数列の意味を解説した後, フィボナッチ数列の美しい性質を3つ紹介します。 フィボナッチ数列とは 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… という数列は, ・最初の2つが1で ・3つめ以降は「前の2つを足した値」になっています。 このような数列のことをフィボナッチ数列と言います。 また,フィボナッチ数列に登場する数字のことをフィボナッチ数と言います。 例えば,21や55はフィボナッチ数です。 フィボナッチ数列はいろいろな分野で登場します。 大学入試問題では, 数列の問題としてだけでなく,場合の数の問題(漸化式をたてて解く問題),整数問題に登場したりもします。 数学的帰納法に関しては様々なタイプがあるので,を参考にしてみてください。 これを「ビネの公式」と言います。 一般項の式には無理数が含まれていますが,計算してみると整数になるというのは不思議ですね。 フィボナッチ数列は三項間漸化式なので,特性方程式を用いて一般項を求めることができます。 しかし,高校数学で登場する三項間漸化式は,ほとんどの場合特性方程式の解が整数となるのですが,フィボナッチ数列の特性方程式の解は無理数なので計算が多少複雑になります。 フィボナッチ数列の性質3:黄金比 フィボナッチ数列の,隣り合う2項の比は黄金比に近づいていきます。 また,フィボナッチ数列の次に頻出のカタラン数についても背景知識があるとよいと思います。

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フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけであることの証明

フィボナッチ 数列 と は

フィボナッチ数列: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597... の一覧を、1002番目まで一覧にしました。 ダウンロードも可能です。 このサイトの特徴は、 211桁ものフィボナッチ数を正確に表示しているところです。 200桁を超えるフィボナッチ数を正確に表記しているサイトはほとんどありませんでしたので、作ってみました。 複数行の数字になっていますが、211桁の1つのフィボナッチ数です。 211桁のフィボナッチ数を表記するため、表の数字を大変小さな文字で表示しています。 もう一度押すと、もう1段階大きく表示されます。 逆に「-」を押す毎に小さくなります。 いまの表示が拡大中なのか縮小中なのかわからなくなってしまった場合は、「Ctrl」キーと数字の「0」を同時に押すと表示サイズが標準に戻ります。 ご参考まで。 どうぞご自由にお使いください。 下のフィボナッチ数列一覧表は1007行までありとても大きな表なので、表の右側のスクロールバーで任意のnを探してください。 咲くことがどんなによいことであろうとなかろうと、それはスミレのあずかり知らないことだ。 咲いているのといないのではおのずから違うというだけのことである。 私についていえば、ただ数学を学ぶ喜びを食べて生きているというだけである。 フィボナッチ数ですね。

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フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけであることの証明

フィボナッチ 数列 と は

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … 12 番目までのフィボナッチ数列の中に,平方数は何個現れているでしょう。 12 番目までには,1 番目と 2 番目に "1",12 番目に "144"という平方数が現れています。 "1" と "144"の,2 種類の平方数が現れているわけですね。 では,13 番目以降には,どんな平方数が現れるでしょうか。 実は, どんなにフィボナッチ数列を書いていっても,13 番目以降には永遠に平方数は現れないのです。 このことは,西暦 1964 年にコーンさんによって証明されました。 このページでは,その の内容を見ていきます。 ただし,初等数学の知識で理解できるように,(行間を読み取らなくてよいように,)証明を少し変えてあります。 参考文献 次の書籍やウェブサイトを参考にしました。 フィボナッチ数列の中の平方数に関して完全に解説している,日本で唯一無二の本かも知れません。 「平方剰余の相互法則の第一補充法則」というカッコいい名前の法則を,この本で理解できました。 循環小数についての本はいろいろ読みましたが,素数との関係がわかりやすく書かれた本です。 フィボナッチ数列の中の平方数に関する証明の概略が書いてあり,霧が晴れた気持ちになりました。 フィボナッチ数列と平方数に関して,完全に証明しているサイトです。 証明の大まかな流れ フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけである ことの証明は,次のような流れで進んでいきます。 <拡張フィボナッチ数列の定理> が 0 以上の整数のとき, が成り立つ。 <拡張フィボナッチ数列の定理>の証明を表示する (証明) に関する数学的帰納法で証明します。 のとき, 左辺 = , 右辺 = なので,成り立っています。 のとき, 左辺 = , 右辺 = なので,成り立っています。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 このときに, のときの式である, (… 「証明すべき式」と名付けます) が成り立つことを証明すれば,完成です。 ところで, です。 (証明終) 第 2 章 リュカ数列と拡張リュカ数列を定義します。 「フィボナッチ数列」 とは,「 1 番目が 1, 2 番目も 1 で,3 番目からは,前の2つの数を加えると次の数になる」 という数列でした。 リュカ数列は,次のように定義されます。 <拡張リュカ数列の定理> が 0 以上の整数のとき, が成り立つ。 <拡張リュカ数列の定理>の証明を表示する (証明) 証明の内容は, とほとんど同じです。 に関する数学的帰納法で証明します。 のとき, 左辺 = , 右辺 = なので,成り立っています。 のとき, 左辺 = , 右辺 = なので,成り立っています。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 このときに, のときの式である, (… 「証明すべき式」と名付けます) が成り立つことを証明すれば,完成です。 ところで, です。 (証明終) リュカ数列は,「フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけである証明」に,大変重要な働きをします。 18 個の予備の定理を証明します。 第 5 章以降の定理を証明するためには,18 個の予備の定理を証明する必要があります。 証明には数学的帰納法を使ったものが数多くあります。 通常の数学的帰納法は,次のようにして,すべての自然数 に対して定理が成り立つことを証明します。 <定理 3-1> が整数のとき, <定理 3-1>の証明を表示する (証明) に関する数学的帰納法で証明します。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 (証明終) <定理 3-2> が整数のとき, <定理 3-2>の証明を表示する (証明) に関する数学的帰納法で証明します。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 (証明終) <定理 3-3> が整数のとき, <定理 3-3>の証明を表示する (証明) に関する数学的帰納法で証明します。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 (証明終) <定理 3-4> が整数のとき, <定理 3-4>の証明を表示する (証明) が偶数の場合と奇数の場合に分けて証明します。 < が偶数の場合> として, ですから, を証明すればよいことになります。 に関する数学的帰納法で証明します。 のときに,与式が成り立っていると仮定します。 つまり, (… 「仮定式」と名付けます) が,成り立っていると仮定するのです。 < が奇数の場合> として, ですから, を証明すればよいことになります。 に関する数学的帰納法で証明します。 のときに,与式が成り立っていると仮定します。 つまり, (… 「仮定式」と名付けます) が,成り立っていると仮定するのです。 偶数のときも奇数のときも<定理 3-4>が成り立つことがわかったので,<定理 3-4>は証明されました。 (証明終) <定理 3-6> F 3の倍数=偶数, F 3の倍数でない=奇数 <定理 3-6>の証明を表示する (証明) を整数として,次の式を証明できればOKです。 =偶数, =奇数, =奇数 に関する数学的帰納法で証明します。 のとき, =偶数, =奇数, =奇数 よって与式は成り立っています。 のとき,与式が成り立っていると仮定します。 つまり, =偶数, =奇数, =奇数 (…「仮定式」と名付けます) が成り立っていると,仮定するのです。 このときに, のときの式である, =偶数, =奇数, =奇数 と, のときの式である, =偶数, =奇数, =奇数 が成り立つことを証明すれば,完成です。 (証明終) <定理 3-7> L 3の倍数=偶数, L 3の倍数でない=奇数 <定理 3-7>の証明を表示する (証明) と,ほとんど同じ内容です。 を整数として,次の式を証明できればOKです。 =偶数, =奇数, =奇数 に関する数学的帰納法で証明します。 のとき, =偶数, =奇数, =奇数 よって与式は成り立っています。 のとき,与式が成り立っていると仮定します。 つまり, =偶数, =奇数, =奇数 (…「仮定式」と名付けます) が成り立っていると,仮定するのです。 このときに, のときの式である, =偶数, =奇数, =奇数 と, のときの式である, =偶数, =奇数, =奇数 が成り立つことを証明すれば,完成です。 (証明終) <定理 3-9> が整数のとき, <定理 3-9>の証明を表示する (証明) に関する数学的帰納法で証明します。 のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 (証明終) 次の<定理 3-11>以降の定理では,「……が で割り切れる 」 という定理が数多く出てきますが,割り算ができるためには, が ではないことが前提です。 しかし,により, であるし, ですから, 以降も正なので, ではありません。 また, であるし, により, なので, が でないなら, も ではありません。 以上のことから, は にはならないことがわかり,安心して割り算できることがわかりました。 が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れる。 よって, が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れ, も で割り切れることがわかるので, が で割り切れることになり,成り立ちます。 次に, のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので,数学的帰納法により, <定理 3-15>が成り立つことがわかりました。 (証明終) が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れる。 よって, が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れ, も で割り切れることがわかるので, が で割り切れることになり,成り立ちます。 次に, のときと, のときに,与式が成り立っていると仮定します。 よって, のときの式と, のときの式を仮定したときに, のときの式と のときの式が成り立つので,数学的帰納法により, <定理 3-16>が成り立つことがわかりました。 (証明終) <定理 3-17> が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割ると あまる。 <定理 3-17>の証明を表示する (証明) すべての整数は,6 で割ったときのあまりは,0, 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかです。 このあまりの中で,偶数で 3 の倍数でないものは,2, 4 のみです。 よって, を 6 で割ったときのあまりが 2 または 4 のとき, は 4 で割ると 3 あまることを証明すればOKです。 ところで,リュカ数列は,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように,はじめの 2 つが 1 と 3 で,そのあとは,直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが,これをちょっと変えて,「直前の 2 個の和」ではなく,「直前の 2 個の和を 4 で割ったときのあまり」にすると,次のような数列になります。 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, …… この数列を,6 個ずつ段にして書くと,次のようになります。 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, 0, 3, 3, 2, ……………………… ……………………… つまり, を 6 で割ったときのあまりが 2 または 4 のとき, は,4 で割ったときのあまりが 3 になります。 よって, が 偶数で 3 の倍数でないとき, は 4 で割ると 3 あまることが証明されました。 (証明終) L 3の倍数=偶数, L 3の倍数でない=奇数 よって, が 2 で割り切れないことはわかりました。 あとは, が 3 でも割り切れないことがわかれば,証明終了です。 ところで,リュカ数列は,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように,はじめの 2 つが 1 と 3 で,そのあとは,直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが,これをちょっと変えて,「直前の 2 個の和」ではなく,「直前の 2 個の和を 3 で割ったときのあまり」にすると,次のような数列になります。 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, …… この数列を,4 個ずつ段にして書くと,次のようになります。 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, ……………………… ……………………… つまり, が 4 の倍数のとき, は,3 で割ったときのあまりが 1 か 2 になり,3 で割り切れることはありません。 よって, が 3 の倍数ではない 4 の倍数のとき, は 2 でも 3 でも割り切れないことが証明されました。 (証明終) 素因数分解に関する定理を証明します。 この章は,次の 4 個の定理を証明するための章です。 <定理 4-1> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 <定理 4-2> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 <定理 4-3> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は,3 しか現れない。 <定理 4-4> ある整数が,4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき,その整数を素因数分解すると,必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる。 この 4 個の定理を証明するために,「補題 4-1」,「補題 4-2」,「フェルマの小定理」,「フェルマの小定理の別の見方」,「因数定理の利用1」,「因数定理の利用2」,「因数定理の利用3」,「定理 4-1」,「定理 4-2」,「定理 4-3」, 「定理 4-4」の順に証明していきます。 <補題 4-1> が素数で, が と互いに素な整数のとき, を で割ったあまりはすべて異なる。 <補題 4-1>の証明を表示する (証明) もし, と とが,同じあまりを持っていると仮定します。 ここで, としても,一般性を失いません。 と の, で割ったときのあまりをどちらも とすると, のように表すことができますから, ですから, は で割り切れることになります。 よって, の素因数の中に がふくまれているはずですが, は と互いに素なので を素因数に持っておらず, は, も も から の間にある数なので, と の差(つまり, のこと)が, 以上に広がることはありえず, は 未満の数になるので, を素因数に持っていません。 したがって, も を素因数に持っていないことになり,矛盾しています。 矛盾の原因は, の中で, で割ったときに,同じあまりがあるのが存在すると仮定したからなので,あまりはすべて異なることが証明できました。 (証明終) <定理 4-1> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 <定理 4-1>の証明を表示する (証明) 背理法によって証明します。 が,4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。 すると, は で割り切れます。 (…「仮定ア」と名付けます。 ) ところで, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することを,これから証明します。 まず, を で割ったとき,割り切れる場合を考えます。 商を とすると, となりますが,そのとき, となり, を で割ると 1 あまることになります。 つまり, を で割っても,割り切れないことがわかり,「仮定ア」に矛盾します。 次に, を で割ったとき,割り切れない場合を考えます。 このときの証明には,<因数定理の利用1>を使います。 によって,次のことがわかっています。 が素数で, が整数のとき, は で割り切れます。 また,「仮定ア」により, は で割り切れるのですから, も で割り切れます。 「式イ」である, において, は で割り切れ, も で割り切れるのですから, も, で割り切れることになります。 つまり, は という素因数を持っていなければならないのですが, は という素因数を持っているわけがないので, が, という素因数を持っていることになり, は で割り切れることになります。 しかし,いまは, が で割ったとき,割り切れない場合を考えているのですから,これは矛盾です。 よって, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することが,証明できました。 矛盾の原因は, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定したことにあります。 仮定が否定されたので, は,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない,つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数は現れないことがわかりました。 (証明終) <定理 4-2> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 <定理 4-2>の証明を表示する (証明) 背理法によって証明します。 が,4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。 すると, は で割り切れます。 (…「仮定ア」と名付けます。 ) ところで, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することを,これから証明します。 まず, を で割ったとき,割り切れる場合を考えます。 商を とすると, となりますが,そのとき, となり, を で割ると 4 あまることになります。 (ただし, のときは, ですから,1 あまります。 ) つまり, を で割っても,割り切れないことがわかり,「仮定ア」に矛盾します。 次に, を で割ったとき,割り切れない場合を考えます。 このときの証明には,<因数定理の利用2>を使います。 によって,次のことがわかっています。 が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 により, を素因数に持っていません。 は という素因数を持っていなければならないのですが, の方は を素因数に持っていないので, の方が, という素因数を持っていることになり, は で割り切れることになります。 しかし,いまは, が で割ったとき,割り切れない場合を考えているのですから,これは矛盾です。 よって, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することが,証明できました。 矛盾の原因は, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定したことにあります。 仮定が否定されたので, は,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない,つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数は現れないことがわかりました。 (証明終) <定理 4-3> が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は,3 しか現れない。 <定理 4-3>の証明を表示する (証明) 背理法によって証明します。 が,「 3 以外の」 4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。 すると, は で割り切れます。 (…「仮定ア」と名付けます。 ) ところで, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することを,これから証明します。 まず, を で割ったとき,割り切れる場合を考えます。 商を とすると, となりますが,そのとき, となり, を で割ると 36 あまることになります。 ただし, は「 3 以外の」 4 で割ると 3 あまる素数ですから,7, 11, 19, 23, 31, 43, …などが考えられ, が 31 以下のときは,36 あまるわけではありませんが,割り切れないことは間違いありません。 つまり, を で割っても,割り切れないことがわかり,「仮定ア」に矛盾します。 次に, を で割ったとき,割り切れない場合を考えます。 このときの証明には,<因数定理の利用3>を使います。 によって,次のことがわかっています。 が整数のとき, を素因数分解したときに, 4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 により, を素因数に持っていません。 は という素因数を持っていなければならないのですが, の方は を素因数に持っていないので, の方が, という素因数を持っていることになり, は で割り切れることになります。 しかし,いまは, が で割ったとき,割り切れない場合を考えているのですから,これは矛盾です。 よって, を で割ったとき,割り切れる場合と割り切れない場合がありますが,どちらにしても矛盾することが,証明できました。 矛盾の原因は, が,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていると仮定したことにあります。 仮定が否定されたので, は,4 で割ると 3 あまるような素因数を持っていない,つまり, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数は,3 しか現れないことがわかりました。 (証明終) 整数 を 整数 で割ったときのあまりを とすると, は で割り切れる。 この式の,整数 を にして, を 4 にすると, はすべて 1 になりますから,補題 4-2は, 素数 を 整数 で割ったときのあまりを とすると, は で割り切れる。 となります。 整理して, 素数 を 整数 で割ったときのあまりを とすると, は で割り切れる。 つまり,4 で割ると 3 あまる整数= = 4 で割ると,1 あまる となり,矛盾します。 矛盾の原因は,"4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解したときに,「 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個もふくまれていない" と仮定したことにあります。 よって, 4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解すると,必ず 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個はふくまれていることになり, 定理 4-4 は証明されました。 (証明終) リュカ数列に現れる平方数は,1 と 4 だけであることを証明します。 リュカ数列は,1, 3, 4, 7, 11, 18, … と続きます。 この中で,1 番目である 1 と,3 番目である 4 だけが,平方数であることを証明していきます。 この章では,リュカ数列 において, が偶数のときは は平方数にならず, が 4 で割ると 1 あまる整数のときは のときのみ平方数になり, が 4 で割ると 3 あまる整数のときは のときのみ平方数になることを証明していきます。 <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合> が 4 で割ると 1 あまる数の場合,リュカ数列 が平方数になるのは, のときだけである。 <n が 4 で割ると 1 あまる数の場合>の証明を表示する (証明) のとき, は,確かに平方数です。 そこで, ,つまり, のときに, が平方数になったと仮定し,背理法で矛盾を導きます。 は,4 でわると 1 あまる整数ですから, は 0 より大きい 4 の倍数です。 そこで, とすると, は 0 より大きい偶数です。 ここで, を素因数分解してみます。 を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します。 回現れたとし, とします。 ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, は 0 であることも考えられます。 は偶数だったので,素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で割ったときの商が ですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 はそのまま残っているので, の中にも,素因数 2 は残っています。 つまり, は偶数です。 また, は を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に,もう 3 はふくまれていません。 つまり, は 3 の倍数ではありません。 で, ですから, と表せることになります。 ただし, は 0 以上の整数で, は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数ではない数です。 ここで,により,次のことがわかっています。 が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れる。 この式を,何回も利用します。 に を代入して, は で割り切れる。 … 1 回目 に を代入してマイナスにして, は で割り切れる。 … 2 回目 に を代入して, は で割り切れる。 … 3 回目 このように,i 番目ならば に を代入して,しかも偶数回目のときはマイナスにして,式をどんどん, 回目まで作っていきます。 回目は奇数回目ですから( のときも, なので奇数です),マイナスにはせず, に を代入することになり, は で割り切れる。 … 回目 ところで, でしたから, です。 よって, 回目の式の中の, は になり, は になります。 よって, 回目の式を書き直すと, は で割り切れる。 … 回目 もう一度,式だけ並べると,次のようになります。 は で割り切れる。 … 1 回目 は で割り切れる。 … 2 回目 は で割り切れる。 … 3 回目 ……………………………………………… ……………………………………………… は で割り切れる。 … 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します。 すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い,というように,どんどん打ち消し合って,結局, は で割り切れる。 となります。 ところで, です。 また,により <n が 4 で割ると 3 あまる数の場合> が 4 で割ると 3 あまる数の場合,リュカ数列 が平方数になるのは, のときだけである。 <n が 4 で割ると 3 あまる数の場合>の証明を表示する (証明) 証明は, と非常によく似ています。 のとき, は,確かに平方数です。 そこで, ,つまり, のときに が平方数になったと仮定し,背理法で矛盾を導きます。 は,4 でわると 3 あまる整数ですから, は 0 より大きい 4 の倍数です。 そこで, とすると, は 0 より大きい偶数です。 ここで, を素因数分解してみます。 を素因数分解したときに,3 が何回現れるかに注目します。 回現れたとし, とします。 ただし,3 が 1 回も現れないこともあるので, は 0 であることも考えられます。 は偶数だったので,素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で割ったときの商が ですが,3 で何回割っても, の中の素因数である 2 はそのまま残っているので, の中にも,素因数 2 は残っています。 つまり, は偶数です。 また, は を 3 で割れるだけ割った残りですから, の中に,もう 3 はふくまれていません。 つまり, は 3 の倍数ではありません。 で, ですから, と表せることになります。 ただし, は 0 以上の整数で, は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数ではない数です。 ここで,により,次のことがわかっています。 が整数で, が偶数で 3 の倍数でないとき, は で割り切れる。 この式を,何回も利用します。 に を代入して, は で割り切れる。 … 1 回目 に を代入してマイナスにして, は で割り切れる。 … 2 回目 に を代入して, は で割り切れる。 … 3 回目 このように,i 番目ならば に を代入して,しかも偶数回目のときはマイナスにして,式をどんどん, 回目まで作っていきます。 回目は奇数回目ですから( のときも なので奇数です),マイナスにはせず, に を代入することになり, は で割り切れる。 … 回目 ところで, でしたから, です。 よって, 回目の式の中の, は になり, は になります。 よって, 回目の式を書き直すと, は で割り切れる。 … 回目 もう一度,式だけ並べると,次のようになります。 は で割り切れる。 … 1 回目 は で割り切れる。 … 2 回目 は で割り切れる。 … 3 回目 ……………………………………………… ……………………………………………… は で割り切れる。 … 回目 これらの,1 回目の式から 回目の式までを足します。 すると,1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合い,2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い,というように,どんどん打ち消し合って,結局, は で割り切れる。 となります。 ところで, です。 また,により が整数のとき, を素因数分解したときに,4 で割ると 3 あまるような素因数は現れない。 と矛盾します。 矛盾の原因は, が 4 で割ると 3 あまる数で, のときに が平方数であると仮定したことにあります。 よって, が 4 で割ると 3 あまる数のとき,リュカ数列 が平方数になるのは, のときだけであることが証明できました。 (証明終) 以上のことから,リュカ数列の偶数番目には平方数は現れず, が 4 で割ると 1 あまる数のときは,1 番目の 1 のみ, が 4 で割ると 3 あまる数のときは,3 番目の 4 のみが平方数であることがわかりました。 結局,リュカ数列に現れる平方数は,( 1 番目の)1 と,( 3 番目の)4 だけであることが証明できました。 リュカ数列は,1, 3, 4, 7, 11, 18, … と続きます。 証明は,n を 8 で割ったときのあまりによって,分けて証明します。 n を 8 で割ったときのあまりは,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 が考えられますが,まず, あまりが 1, 3, 5, 7 の場合。 つまり,n が奇数の場合。 次に,あまりが 0, 4 の場合。 つまり,n が 4 の倍数の場合。 次に,あまりが 6 の場合。 最後に,あまりが 2 の場合。 このように分けて,証明していきます。 L 3の倍数=偶数, L 3の倍数でない=奇数 ですから, は 3 の倍数です。 よって, は 奇数で,しかも 3 の倍数です。 このような は,6 で割ると 3 あまる数です。 ところで,リュカ数列は,1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように,はじめの 2 つが 1 と 3 で,そのあとは,直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数列ですが,これをちょっと変えて,「直前の 2 個の和」ではなく,「直前の 2 個の和を 8 で割ったときのあまり」にすると,次のような数列になります。 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, …… この数列を,6 個ずつ段にして書くと,次のようになります。 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, ……………………… ……………………… つまり, L 6で割ると3あまる数 は,8 で割ると 4 あまるような数です。 」 ということになります。 ところが,偶数の平方数は, のようになり,4 で割ると割り切れ, 奇数の平方数は, のようになり,4 で割ると 1 だけあまります。

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